Ayo Mengenal Tensor

Ada yang pernah dengar Tensor? Tensor bukanlah singkatan dari transformasi sensor atau tentang sensor ortogonal. Kalau mau mengerti, Mari Kita belajar sedikit demi sedikit tentang Tensor.

 Tensor merupakan bagian dari analisis matematik suatu bentuk representasi yang lebih umum.

 Definisi sebuah vektor dapat diperluas untuk mendefinisikan jenis yang lebih umum

sebuah objek yang dinamakan tensor, yang bisa memiliki subscript lebih dari satu.

 Skalar, vektor, dan matriks harus bisa bertransformasi secara ortogonal supaya dapat dikatakan tensor.

 Jika dalam sistem koordinat persegi ruang tiga dimensi dibawah rotasi koordinat:

kuantitas 3^N T_i1,_i2,···,_iN (dengan tiap i1,i2,··· ,iN merupakan indeks bebas berjalan dari 1 ke 3) bertransformasi menurut aturan

 sehingga T_{i1,i2,···,iN} adalah komponen dari tensor Cartesian rank N.

 Rank sebuah tensor adalah jumlah subscript bebas. Sehingga tensor dengan rank nol

hanya memiliki satu buah komponen (3^0 = 1). Sehingga kita bisa menganggapnya

sebagai skalar.

 Tensor dengan rank satu memiliki tiga buah komponen (3^1 = 3). Aturan transformasi

komponen-komponennya di bawah rotasi sama dengan aturan pada vektor. Sehingga

vektor adalah tensor rank satu.

 Kasus lainnya paling penting adalah tensor rank dua. Tensor ini memiliki sembilan

buah komponen (3^2 = 9), T_ij mengikuti aturan transformasi

Komponen-komponen tensor rank dua dapat dinyatakan dalam matriks 3×3:

Tetapi, hal ini tidak berarti tiap matriks 3 × 3 membentuk sebuah tensor. Syarat paling

penting adalah komponen-komponennya memenuhi aturan transformasi.

 Sebagai masalah terminologi, tensor rank dua dalam ruang tiga dimensi memiliki

sembilan buah komponen T_ij. Tetapi sering T_ij dianggap sebagai “tensor” dibandingkan

“komponen tensor” untuk sederhananya. Dengan kata lain, T_ij digunakan untuk

menyatakan komponen keseluruhan sekaligus komponen individu.

 Tensor banyak digunakan dalam fisika seperti:

    # Materi:

        o Elektron bebas

        o Medan isotropik

        o Medan anisotropik: Elastisitas, Kelistrikan, Magnetik

    # Teori Elektromagnetik

    # Relativitas

 Contoh Soal:
Tunjukkan bahwa dalam ruang dua dimensi, kuantitas berikut merupakan tensor rank
dua

>> Penyelesaian:
Dalam ruang dua dimensi, tensor rank dua memiliki 4 (2^2 = 4) komponen. Jika ini adalah tensor maka dalam koordinat terotasi bentuknya haruslah

dengan

sekarang kita harus memeriksa jika tiap komponen memenuhi aturan transformasi

Hal ini harus dibandingkan dengan

Terlihat bahwa dua buah ekspresi identik. Proses yang sama akan menunjukkan bahwa komponen-komponen lain juga memenuhi aturan transformasi. Sehingga T_ij adalah tensor rank dua dalam ruang dua dimensi.

Referensi:
K. T. Tang. Diktat Fisika Matematika II, Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati. Tidak diterbitkan.